- Дифференциальная форма
-
Дифференциа́льная фо́рма порядка
или
-форма — кососимметрическое тензорное поле типа
на касательном расслоении многообразия.
Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.
Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.
Пространство
-форм на многообразии
обычно обозначают
.
Содержание
Определения
Инвариантное
В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени
— это гладкое сечение
-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.
Через локальные карты
-формой на
будем называть выражение следующего вида
где
— гладкие функции,
— дифференциал
-ой координаты
(функция от вектора, возвращающая его координату с номером
), а
— внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.
На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).
Связанные определения
- Для
-формы
, её внешний дифференциал это
-форма
- Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
- k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
- Факторгруппа
замкнутых k-форм по точным k-формам называется
-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
- Внутренней производной формы
по векторному полю
называется форма
Свойства
- В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как
- где
— дифференциал
-ой координаты
, а
— внешнее произведение.
- Для дифференциалов дифференциальных форм
векторного поля
справедливо:
- Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от
векторов.
- Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
- Для любой формы справедливо
.
- теорема Стокса — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
- Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:
Примеры
- С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке
многообразия
и отображающий элементы касательного пространства
в множество вещественных чисел
:
- Форма объёма — пример
-формы на
-мерном многообразии.
- Симплектическая форма — замкнутая 2-форма
на
-многообразии, такая что
.
Применения
Векторный анализ
Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть
— канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и
— канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на
. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на
. Тогда ротор и дивергенцию для полей на
можно представить как
Дифференциальные формы в электродинамике
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:
Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид
В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как
где
— оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.
2-форма
также называется 2-формой Максвелла.
Гамильтонова механика
С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие
с заданными на нём симплектической формой
и функцией
, называемой функцией Гамильтона.
задаёт в каждой точке
изоморфизм
кокасательного
и касательного
пространств по правилу
,
где
— дифференциал функции
. Векторное поле
на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций
и
на
определяется по правилу
Вариации и обобщения
Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от
векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на
со значениями в векторном расслоении
определяются как сечения тензорного произведения расслоений
Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение
.
Литература
- Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
- Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
- Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
- Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.
См. также
Категория:- Дифференциальные формы
Wikimedia Foundation. 2010.