- Символ Лежандра
-
Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби.
Определение
Пусть a — целое число, и p — нечётное простое число. Символ Лежандра определяется следующим образом:
- , если a делится на p;
- , если a является квадратичным вычетом по модулю p, то есть a не делится на p и существует такое целое x, что ;
- , если a является квадратичным невычетом по модулю p, то есть a не делится на p и не является квадратичным вычетом по модулю p.
Свойства
- Мультипликативность: .
- Если , то .
- Если q — простое число, не равное p, то — частный случай квадратичного закона взаимности.
- Среди чисел ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — равный −1.
- Символ Лежандра можно вычислить по формуле Эйлера: .
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Legendre Symbol (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Характеры в теории чисел и Характер в теории групп Квадратичные характеры Символ Лежандра • Символ Якоби • Символ Кронекера — Якоби Характеры степенных вычетов Характер кубического вычета • Характер биквадратичного вычета • Символ степенного вычета Категория:- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.