- Степенная функция
-
Степенна́я фу́нкция — функция , где (показатель степени) — некоторое вещественное число[1]. К степенным часто относят и функцию вида , где k — некоторый масштабный множитель.[2] Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.
Содержание
Вещественная функция
Область определения
Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при . Если , то функция определена также и при , иначе нуль является её особой точкой.
Рациональный показатель степени
- Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При получается функция , называемая прямой пропорциональной зависимостью.
- Графики функций вида , где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.
- Если , то функция есть арифметический корень степени n.
Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: (полукубическая парабола).
Свойства
- См. также: Возведение в степень
- Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция определена в нуле и его правой окрестности, но её производная в нуле не определена.
- В интервале функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при Значения функции в этом интервале положительны.
- Производная функции:
- Неопределённый интеграл:
- Если , то
- При получаем:
Комплексная функция
Степенная функция комплексного переменного z, вообще говоря, определяется формулой[3]:
Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение равно где k — произвольное целое, а его главное значение есть
Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.
- При натуральном показателе степени функция однозначна и n-листна[4].
- Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь , то у функции будет q различных значений[3].
См. также
Литература
- Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5. — С. 208-209.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
Ссылки
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
- ↑ 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.
- ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.
Категории:- Элементарные функции
- Элементарные функции комплексного переменного
Wikimedia Foundation. 2010.