- Тороидальная система координат
-
Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.
Содержание
Определение
Тороидальной система координат определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:
- ,
где — масштабный множитель, который необходимо фиксировать для выбора определённой тороидальной системы координат, .
Свойства
Координатные поверхности
— торы
- ,
— сферы
- ,
— полуплоскости
- .
Дифференциальные характеристики
- Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид:
Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.
- Квадрат линейного элемента:
- .
- Квадрат элемента площади:
- .
- Элемент объёма:
- .
- .
- .
- Символы Кристоффеля второго рода:
Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах
- Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:
- Дивергенция векторного поля:
Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах
Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:
Для его решения удобно искать решение в виде:
- ,
тогда уравнение для функции :
- .
После чего можно разделить переменные:
- .
В результате чего получится система:
В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.
Литература
- Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.
- Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732-733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категория:- Системы координат
Wikimedia Foundation. 2010.