У попа была собака

Реку́рсия — метод определения класса объектов или методов предварительным заданием одного или нескольких (обычно простых) его базовых случаев или методов, а затем заданием на их основе правила построения определяемого класса, ссылающегося прямо или косвенно на эти базовые случаи.

Другими словами, рекурсия — способ общего определения объекта или действия через себя, с использованием ранее заданных частных определений. Рекурсия используется, когда можно выделить самоподобие задачи.

Определение в логике, использующее рекурсию, называется индуктивным (см., например, Натуральное число).

Примеры

• Метод Гаусса — Жордана для решения Системы линейных алгебраических уравнений является рекурсивным.
• Факториал целого неотрицательного числа n обозначается n! и определяется как

  $n!=n\times(n-1)!$ при n > 0 и n! = 1 при n = 0

• Числа Фибоначчи определяются с помощью рекуррентного соотношения:

  Первое и второе числа Фибоначчи равны 1

  Для n > 2, n − e число Фибоначчи равно сумме (n − 1)-го и (n − 2)-го чисел Фибоначчи

• Практически все геометрические фракталы задаются в форме бесконечной рекурсии. (например, треугольник Серпинского).
• Задача «Ханойские башни». Её содержательная постановка такова:

  В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячу лет занимаются перекладыванием колец. Они располагают тремя пирамидами, на которых надеты кольца разных размеров. В начальном состоянии 64 кольца были надеты на первую пирамиду и упорядочены по размеру. Монахи должны переложить все кольца с первой пирамиды на вторую, выполняя единственное условие — кольцо нельзя положить на кольцо меньшего размера. При перекладывании можно использовать все три пирамиды. Монахи перекладывают одно кольцо за одну секунду. Как только они закончат свою работу, наступит конец света.

  Рекурсивный вариант решения задачи можно описать так:

Алгоритм по передвижению башни, алгоритм передвинет нужное количество дисков из пирамиды «источник» на пирамиду «задание» используя «запасную» пирамиду.

Если число дисков равно одному, тогда:

• Передвиньте диск из источника в задание

В противном случае:

• Рекурсивно передвиньте все диски кроме одного из источника в запас, используя задание как запас
• Передвиньте оставшийся диск из источника в задание
• Передвиньте все диски из запаса в задание используя источник как запас

Рекурсия в программировании

Функции

В программировании рекурсия — вызов функции (процедуры) из неё же самой, непосредственно (простая рекурсия) или через другие функции (сложная рекурсия), например, функция A вызывает функцию B, а функция B — функцию A. Количество вложенных вызовов функции или процедуры называется глубиной рекурсии.

Мощь рекурсивного определения объекта в том, что такое конечное определение способно описывать бесконечно большое число объектов. С помощью рекурсивной программы же возможно описать бесконечное вычисление, причём без явных повторений частей программы.

Реализация рекурсивных вызовов функций в практически применяемых языках и средах программирования, как правило, опирается на механизм стека вызовов — адрес возврата и локальные переменные функции записываются в стек, благодаря чему каждый следующий рекурсивный вызов этой функции пользуется своим набором локальных переменных и за этот счёт работает корректно. Оборотной стороной этого довольно простого по структуре механизма является то, что рекурсивные вызовы не бесплатны — на каждый рекурсивный вызов требуется некоторое количество оперативной памяти компьютера, и при чрезмерно большой глубине рекурсии может наступить переполнение стека вызовов. Вследствие этого обычно рекомендуется избегать рекурсивных программ, которые приводят (или в некоторых условиях могут приводить) к слишком большой глубине рекурсии.

Впрочем, имеется специальный тип рекурсии, называемый «хвостовой рекурсией». Интерпретаторы и компиляторы функциональных языков программирования, поддерживающие оптимизацию кода (исходного и/или исполняемого), автоматически преобразуют хвостовую рекурсию к итерации, благодаря чему обеспечивают выполнение алгоритмов с хвостовой рекурсией в ограниченном объёме памяти. Такие рекурсивные вычисления, даже если они формально бесконечны (например, когда с помощью рекурсии организуется работа командного интерпретатора, принимающего команды пользователя), никогда не приводят к исчерпанию памяти. К сожалению, далеко не всегда стандарты языков программирования чётко определяют, каким именно условиям должна удовлетворять рекурсивная функция, чтобы транслятор гарантированно преобразовал её в итерацию. Одно из редких исключений — язык Lisp), описание которого содержит все необходимые сведения.

• См. также Примеры реализации функции факториал

Данные

Описание типа данных может содержать ссылку на саму себя. Подобные структуры используются при описании списков и графов. Пример описания списка (C++):

 class element_of_list
 {
   element_of_list *next; /* ссылка на следующий элемент того же типа */
   int data; /* некие данные */
 };

Рекурсивная структура данных зачастую обуславливает применение рекурсии для обработки этих данных.

Рекурсия в физике

Классическим примером бесконечной рекурсии являются два поставленные друг напротив друга зеркала: в них образуются два коридора из затухающих отражений зеркал.

Другим примером бесконечной рекурсии является эффект самовозбуждения (положительной обратной связи) у электронных схем усиления, когда сигнал с выхода попадает на вход, усиливается, снова попадает на вход схемы и снова усиливается. Усилители, для которых такой режим работы является штатным, называются автогенераторы.

Рекурсия в лингвистике

Способность языка порождать вложенные предложения и конструкции. Базовое предложение кошка съела мышь может быть за счет рекурсии расширено как Ваня догадался, что кошка съела мышь, далее как Катя знает, что Ваня догадался, что кошка съела мышь и так далее. Рекурсия считается одной из лингвистических универсалий, то есть свойственна любому естественному языку (хотя в последнее время активно обсуждается возможное отсутствие рекурсии в одном из языков Амазонии — пираха, которое отмечает лингвист Д. Эверетт). О рекурсии в лингвистике, ее разновидностях и наиболее характерных проявлениях в русском языке описано в статье Е.А.Лодатко "Рекурсивные лингвистические структуры" (см.: Рекурсивные лингвистические структуры)

Цитаты

Итерация от человека. Рекурсия — от Бога. — Л. Питер Дойч^[1]

Юмор

Большая часть всех шуток о рекурсии касается бесконечной рекурсии, в которой нет условия выхода. Известные высказывания: 'Чтобы понять рекурсию, нужно сначала понять рекурсию', 'Чтобы что-то сделать, надо что-то сделать', 'Для приготовления салата необходимы: огурцы, помидоры, салат'. Весьма популярна шутка о рекурсии, напоминающая словарную статью:

рекурсия 

см. рекурсия

Несколько рассказов Станислава Лема посвящены (возможным) казусам при бесконечной рекурсии:

• Рассказ про Йона Тихого «Путешествие четырнадцатое» из «Звёздных дневников Ийона Тихого», в котором герой последовательно переходит от статьи о сепульках к статье о сепуляции, оттуда к статье о сепулькариях, в которой снова стоит отсылка к статье «сепульки».
• Рассказ о разумной машине, которая обладала достаточным умом и ленью, чтобы для решения поставленной задачи построить себе подобную, и поручить решение ей (итогом стала бесконечная рекурсия, когда каждая новая машина строила себе подобную и передавала задание ей).

Русская народная сказка-песня «У попа была собака…» являет пример рекурсии:

У попа была собака, он её любил,
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:

"У попа была собака, он её любил,

Она съела кусок мяса, он её убил,

В землю закопал,

Надпись написал:

"У попа была собака, он её любил,

Она съела кусок мяса, он её убил,

В землю закопал,

Надпись написал:

…

См. также

• Индукция
• Математическая индукция
• Корекурсия
• Рекуррентная последовательность (возвратная последовательность)

Ссылки

1. ↑ * Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1