- Модуль непрерывности
-
Для любой функции , определённой на множестве , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная
или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из длиной меньше . Также в литературе встречаются другие обозначения: и (реже) .
Содержание
Свойства модуля непрерывности
Введённая функция обладает рядом интересных свойств.
- При любом она неотрицательна.
- Функция не убывает.
- Функция полуаддитивна, если выпукло:
- Докажем:
- Тогда:
- ч. т. д.
- Докажем:
- По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:
- Если функция определена на отрезке и непрерывна на нём, то , и наоборот. Данный предел обозначается также .
- Пусть , так как функция неотрицательна, то
- при любых и из таких, что расстояние между ними меньше . Если мы зафиксируем , а будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности , мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке , а поскольку вместо мы можем взять любую точку отрезка, получим, что непрерывна на нём.
- Докажем теперь обратное утверждение. Пусть непрерывна на . Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора — Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:
- Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,
- Но, как мы только что показали
- а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна и уж точно меньше . Но, поскольку не убывает, при получим неравенство:
- или
- что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.
- Если непрерывна на , то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке .
- Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство:
- При устремлении к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по теореме о двух милиционерах, и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках . Теперь, подставив в неравенство , таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность на всём отрезке.
- Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство:
Связанные понятия
Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:
- принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
- гладкость;
- дифференцируемость;
- возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
- и многих других.
Вариации и обобщения
Модули непрерывности высших порядков
Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции .
Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка , то получим определение модуля непрерывности порядка . Обычное обозначение для таких модулей — .
Свойства
- Если — целое число, то
Неклассические модули непрерывности
Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.
Категории:- Математический анализ
- Функции
- Теория приближений
Wikimedia Foundation. 2010.